Ante la dificultad de dar una respuesta adecuada a esta pregunta, algunos han propuesto: «La matemática es lo que los matemáticos hacen». No aclara mucho la cuestión, pero no deja de ser por ello un buen punto de partida. La mejor explicación de lo que la matemática es en la actualidad se obtiene, efectivamente, penetrando en el taller del matemático y observando atentamente lo que hace. Por eso, en esta exposición trataremos, en primer lugar, de recorrer panorámicamente algunas de las diferentes áreas de actividad de los que actualmente denominamos matemáticos. Más adelante procederemos a analizar un poco más profundamente el sentido general de esta actividad.
Se intenta a veces encasillar a los matemáticos en dos grandes grupos, el de los matemáticos «puros» y el de los «aplicados». Los «puros» serían quienes sólo se preocupan por el estudio y desarrollo de las estructuras matemáticas por sí mismas; los «aplicados», aquellos que se enfrentan con las realidades de la naturaleza que admiten algún modo de tratamiento matemático, con la intención de entender, explorar y aprovechar tales realidades mediante el conocimiento que se pueda desprender de dicho tratamiento matemático al que más o menos se ajusta esa realidad. Así, se suele hablar de matemática pura y matemática aplicada. El concebir tal división como dos compartimientos estancos es totalmente inadecuado
desde un punto de vista histórico y altamente perjudicial para el desarrollo de estos dos tipos de matemática. Los matemáticos más eminentes, Arquímedes, Newton, Gauss, Poincaré, Hilbert, von Neumann, Weyl.... han desarrollado ambos aspectos de la matemática,y es claro que un sano desarrollo dé ésta no puede obtenerse sino mediante una interacción de estos dos tipos de actividad dentro de ella.
El mismo nombre de matemática pura parece implicar una actitud introvertido y enfermiza, y por ello es preferible describir la actividad alrededor de las mismas estructuras matemáticas con el nombre dematemática fundamental, y la de aquellos que consideran especialmente las aplicaciones, con el dematemática de las aplicaciones. El proceso de interacción
entre una y otra se puede describir del siguiente modo: La naturaleza presenta una realidad física, química, biológica, social.... que parece deseable explorar y controlar. De la observación de tal realidad se extrae un modelo matemático al que parece ajustarse en su funcionamiento. Este modelo se desarrolla con las herramientas y técnicas matemáticas adecuadas existentes, o bien se crean estructuras matemáticas nuevas que permitan su conocimiento más profundo. En este estudio el matemático, empujado por el deseo de conocer en profundidad la estructura mental que subyace al modelo, va en muchas ocasiones mucho más lejos de lo que el mero dominio de la realidad inicial exigiría. Una vez conocido el modelo y las leyes que lo rigen, se trata de ensayar este dominio conceptual en la realidad de partida. El conocimiento alcanzado del modelo, en parte tal vez superfluo por el momento, queda almacenado y quizá algún día será usado.
En la descripción que sigue de los diferentes campos de la matemática actual trataremos de indicar específicamente algunos de los puntos en los que esta interacción se presenta.
Al describir los diversos entornos de la matemática fundamental y de la matemática de las aplicaciones es necesario tener en cuenta asimismo que la matemática hoy día constituye una unidad orgánica en la que la interdependencia entre sus diversos campos es tal vez una de las notas más llamativas de la matemática contemporánea. No se puede, por ejemplo, hablar de lógica matemática sin tener en cuenta las modernas ciencias de la computación, ni de geometría ignorando el análisis.
Al final de nuestro recorrido examinaremos brevemente el sentido profundo de la actividad matemática y su papel en la cultura humana.
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